ইনভার্স, ডিটারমিন্যান্ট ও র‍্যাঙ্ক

১ · $2\times2$ ডিটারমিন্যান্ট ও এর জ্যামিতিক অর্থ

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ হলে এর ডিটারমিন্যান্টDeterminantএকটি সংখ্যা যা বলে দেয় একটি রৈখিক রূপান্তর area/volume কত গুণ বদলায়, এবং orientation উল্টে যায় কি না। হলো:

এর জ্যামিতিক অর্থ গভীর — পাঠ ০৮-এ আমরা দেখেছি $\mathbf{A}$ একটি রূপান্তর। একক বর্গক্ষেত্র (unit square, বাহু $1$) এই রূপান্তরের পর একটি সমান্তরালগ্রামে (parallelogram) পরিণত হয়, এবং সেই সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল ঠিক $|\det(\mathbf{A})|$। উদাহরণ: $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ (স্কেলিং ম্যাট্রিক্স, পাঠ ০৮) হলে $\det(\mathbf{A})=2(3)-0(0)=6$ — একক বর্গক্ষেত্র ($1\times1$) হয়ে যায় $2\times3$ আয়তক্ষেত্র, ক্ষেত্রফল ঠিক $6$।

ডিটারমিন্যান্টের চিহ্নও অর্থবহ: ধনাত্মক হলে orientation অপরিবর্তিত থাকে, ঋণাত্মক হলে রূপান্তরটি স্পেসকে "উল্টে দেয়" (mirror/flip)। যেমন $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ (দুই অক্ষ অদল-বদল করা) এর $\det(\mathbf{A})=0(0)-1(1)=-1$ — এই ঋণাত্মক চিহ্নই বলে দেয় এটি একটি প্রতিফলন (reflection)।

২ · ইনভার্টিবিলিটি ⟺ $\det\neq0$

যদি $\det(\mathbf{A})=0$ হয়, তাহলে রূপান্তরটি স্পেসকে একটি নিম্ন-মাত্রায় "চ্যাপ্টা" করে দেয় (যেমন একটি সরলরেখায় বা একটি বিন্দুতে) — ঠিক পাঠ ০৮-এর প্রজেকশন ম্যাট্রিক্সের মতো। ক্ষেত্রফল শূন্যে নেমে যাওয়া মানে তথ্য অপরিবর্তনীয়ভাবে হারিয়ে যাওয়া, তাই এই রূপান্তরের কোনো বিপরীতমুখী (inverse) রূপান্তর থাকতে পারে না। এই কারণেই:

৩ · ম্যাট্রিক্স ইনভার্স

$\mathbf{A}$-এর ইনভার্সInverseএমন একটি ম্যাট্রিক্স $\mathbf{A}^{-1}$ যা $\mathbf{A}$-এর সাথে গুণ করলে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স দেয়।, লেখা হয় $\mathbf{A}^{-1}$, এমন একটি ম্যাট্রিক্স যা:

$2\times2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি সরাসরি সূত্র আছে:

লক্ষ করুন — এই সূত্রের হর-এ $\det(\mathbf{A})$ আছে, তাই $\det(\mathbf{A})=0$ হলে সূত্রটাই ভেঙে পড়ে (শূন্য দিয়ে ভাগ), যা আবারও নিশ্চিত করে কেন $\det\neq0$ ইনভার্টিবিলিটির শর্ত।

একটি সম্পূর্ণ উদাহরণ: $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$। এখানে $\det(\mathbf{A})=2(1)-1(1)=1$। তাই:

যাচাই: $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2(1)+1(-1)&2(-1)+1(2)\\1(1)+1(-1)&1(-1)+1(2)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\mathbf{I}$ — ঠিক আছে।

৪ · রৈখিক সমীকরণ সমাধান

ইনভার্সের সবচেয়ে সরাসরি ব্যবহার — $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$ আকারের একটি সমীকরণ সিস্টেম সমাধান করা। যদি $\mathbf{A}$ বর্গ ও ইনভার্টিবল হয়, তাহলে উভয় পাশে বাম থেকে $\mathbf{A}^{-1}$ দিয়ে গুণ করে:

উপরের $\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ ও $\mathbf{b}=(3,2)$ নিলে:

যাচাই: $\mathbf{Ax}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2(1)+1(1)\\1(1)+1(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\mathbf{b}$ — মিলে গেছে।

৫ · র‍্যাঙ্ক

র‍্যাঙ্কRankএকটি ম্যাট্রিক্সের কলাম স্পেসের (column space) মাত্রা — কতগুলো কলাম আসলে স্বাধীন (independent) তথ্য বহন করে।linearly independent। একটি $n\times n$ ম্যাট্রিক্স ফুল র‍্যাঙ্ক (full rank) হয় যদি $\text{rank}(\mathbf{A})=n$ — এবং এটি ইনভার্টিবিলিটির আরেকটি সমতুল্য শর্ত।

যদি একটি কলাম অন্য কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাহার (linear combination) হয় (যেমন একটি ফিচার আরেকটির ঠিক দ্বিগুণ), তাহলে ম্যাট্রিক্স rank-deficient — উদাহরণ: $\mathbf{B}=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$-এর দ্বিতীয় সারি প্রথম সারির ঠিক দ্বিগুণ, $\det(\mathbf{B})=1(4)-2(2)=0$, এবং $\text{rank}(\mathbf{B})=1$ (২ নয়)।

৬ · কোড দিয়ে যাচাই

নিচে NumPy দিয়ে উপরের সবকিছু — ডিটারমিন্যান্ট, ইনভার্স, সমীকরণ সমাধান ও র‍্যাঙ্ক — একসাথে যাচাই করা হলো।

import numpy as np

A = np.array([[2.0, 1.0],
              [1.0, 1.0]])

det_A = np.linalg.det(A)
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("det(A) =", det_A)
print("A_inv =\n", A_inv)

# রৈখিক সমীকরণ Ax = b সমাধান
b = np.array([3.0, 2.0])
x_via_inverse = A_inv @ b
x_via_solve = np.linalg.solve(A, b)   # সংখ্যাগতভাবে বেশি স্থিতিশীল পদ্ধতি
print("x (inverse দিয়ে):", x_via_inverse)
print("x (np.linalg.solve দিয়ে):", x_via_solve)

# একটি rank-deficient ম্যাট্রিক্স
B = np.array([[1.0, 2.0],
              [2.0, 4.0]])
print("det(B) =", np.linalg.det(B))
print("rank(B) =", np.linalg.matrix_rank(B))