ডেরিভেটিভ পুনরালোচনা — চেইন রুল

১ · ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা — লিমিট দিয়ে

একটি ফাংশন $f(x)$-এর ডেরিভেটিভDerivativeএকটি বিন্দুতে ফাংশনের তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার — গ্রাফের ঐ বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢাল। মানে সেই বিন্দুতে ফাংশনটি কত দ্রুত বদলাচ্ছে। প্রাথমিক সংজ্ঞাটি একটি লিমিট দিয়ে দেওয়া হয়:

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

ভগ্নাংশটি $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ আসলে দুটি বিন্দুর মধ্যে গড় পরিবর্তনের হার (secant line-এর ঢাল)। $h$ কে শূন্যের দিকে নিয়ে গেলে দুটি বিন্দু একে অপরের কাছাকাছি চলে আসে, এবং সেই লিমিটে আমরা পাই একটি বিন্দুতে তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার — অর্থাৎ স্পর্শক রেখার ঢাল।

২ · তিনটি মৌলিক নিয়ম পুনরালোচনা

প্রতিবার লিমিট থেকে শুরু করা অব্যবহারিক, তাই কিছু নিয়ম মুখস্থ রাখা হয় — এগুলো সবই উপরের লিমিট সংজ্ঞা থেকে প্রমাণযোগ্য, কিন্তু এই পাঠে আমরা শুধু ফলাফল পুনরালোচনা করছি।

পাওয়ার রুল

$$ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $$

যেমন: $\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$, এবং $\frac{d}{dx} x = 1$ ($n=1$ বসিয়ে)।

প্রোডাক্ট রুল

দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ — প্রতিটি ফাংশন পালাক্রমে ডেরাইভ হয়:

$$ \frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$

যেমন $h(x) = x^2 \sin x$ হলে $h'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$।

কোশেন্ট রুল

দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ:

$$ \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} $$

এই তিনটি নিয়মই যথেষ্ট শক্তিশালী সরল ফাংশনের জন্য — কিন্তু ML-এ আমরা প্রায় সবসময় ফাংশনের ভেতরে ফাংশন দেখি (যেমন $\sigma(wx+b)$), আর সেখানেই আসল কাজের হাতিয়ার — চেইন রুল।

৩ · চেইন রুল — কম্পোজিট ফাংশনের ডেরিভেটিভ

ধরুন $h(x) = f(g(x))$ — অর্থাৎ প্রথমে $x$-কে $g$ দিয়ে রূপান্তর করা হলো, তারপর সেই ফলাফলকে $f$ দিয়ে। একে বলা হয় কম্পোজিট ফাংশনComposite Functionএকটি ফাংশনের আউটপুট আরেকটি ফাংশনের ইনপুট হিসেবে ব্যবহৃত হলে তাকে কম্পোজিট ফাংশন বলে — $f(g(x))$।। চেইন রুল বলে:

$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

কথায় বললে — বাইরের ফাংশনের ডেরিভেটিভ (ভেতরের ফাংশনের মানে বসিয়ে), গুণ ভেতরের ফাংশনের ডেরিভেটিভ। প্রতিটি "স্তর" নিজের স্থানীয় পরিবর্তনের হার অবদান রাখে, আর সেগুলো গুণ হয়ে মিলিত হয়।

উদাহরণ ১ — $h(x) = (3x+1)^2$।

ধরি $g(x) = 3x+1$ (ভেতরের ফাংশন) এবং $f(u) = u^2$ (বাইরের ফাংশন), তাহলে $h(x)=f(g(x))$। $f'(u) = 2u$ এবং $g'(x) = 3$। চেইন রুল প্রয়োগ করে:

$$ h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 2(3x+1) \cdot 3 = 6(3x+1) $$

উদাহরণ ২ — $h(x) = e^{-x^2}$।

এখানে $g(x) = -x^2$ এবং $f(u) = e^u$, যেখানে $f'(u) = e^u$ এবং $g'(x) = -2x$। তাই:

$$ h'(x) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x \, e^{-x^2} $$

উদাহরণ ৩ — একটি প্রিভিউ। সিগময়েড ফাংশন $\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ নিজেই একটি কম্পোজিট ফাংশনের চেইন — ভেতরে $-x$, তারপর $e^{(\cdot)}$, তারপর $1+(\cdot)$, তারপর $\frac{1}{(\cdot)}$। এর সম্পূর্ণ ডেরিভেশন আমরা করব পাঠ ১৮-এ, কিন্তু এখনই লক্ষ করুন — এটি সমাধান করতে চেইন রুল ছাড়া কোনো উপায় নেই।

৪ · কোড দিয়ে যাচাই — অ্যানালিটিক্যাল বনাম সংখ্যাগত ডেরিভেটিভ

নিচে $h(x) = (3x+1)^2$-এর ডেরিভেটিভ দুইভাবে হিসাব করা হলো — একবার চেইন রুল দিয়ে পাওয়া সূত্র $h'(x)=6(3x+1)$ ব্যবহার করে, আরেকবার লিমিট সংজ্ঞা থেকে সরাসরি একটি ছোট $h$ (যেমন $10^{-6}$) দিয়ে সংখ্যাগতভাবে অনুমান করে। দুটো প্রায় অভিন্ন হওয়া উচিত।

import numpy as np

def h(x):
    return (3 * x + 1) ** 2

# চেইন রুল দিয়ে হাতে বের করা ডেরিভেটিভ: h'(x) = 6(3x + 1)
def h_prime_analytical(x):
    return 6 * (3 * x + 1)

# লিমিট সংজ্ঞা থেকে সংখ্যাগত অনুমান (finite difference)
def h_prime_numerical(x, step=1e-6):
    return (h(x + step) - h(x)) / step

x0 = 2.0
print("অ্যানালিটিক্যাল (চেইন রুল):", h_prime_analytical(x0))
print("সংখ্যাগত (finite difference):", h_prime_numerical(x0))