সম্ভাবনার স্বতঃসিদ্ধ ও শর্তাধীন সম্ভাবনা

১ · স্যাম্পল স্পেস ও ইভেন্ট

যেকোনো এলোমেলো (random) পরীক্ষার সম্ভাব্য সব ফলাফলের সেটকে বলা হয় স্যাম্পল স্পেসSample Space ($\Omega$)একটি এলোমেলো পরীক্ষার সম্ভাব্য সব ফলাফলের সম্পূর্ণ সেট।, চিহ্ন $\Omega$। যেমন একটি সাধারণ ছক্কা ফেললে $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$। এই স্যাম্পল স্পেসের যেকোনো উপসেট (subset) একটি ইভেন্ট (event) — যেমন "জোড় সংখ্যা ওঠা" ইভেন্টটি হলো $A=\{2,4,6\}\subseteq\Omega$।

ML-এর প্রেক্ষাপটে স্যাম্পল স্পেস হতে পারে "একটি ইমেইল স্প্যাম নাকি স্প্যাম নয়" ($\Omega=\{\text{স্প্যাম}, \text{স্প্যাম নয়}\}$), অথবা "একটি ছবি কোন ১০টি ক্লাসের একটির অন্তর্গত" — যেকোনো পরিস্থিতিতেই একই আনুষ্ঠানিক কাঠামো কাজ করে।

২ · কলমোগোরভের স্বতঃসিদ্ধ

সম্ভাবনা তত্ত্বের পুরো ভবন মাত্র তিনটি স্বতঃসিদ্ধ (axiom) এর উপর দাঁড়িয়ে আছে, যা ১৯৩৩ সালে আন্দ্রেই কলমোগোরভ প্রস্তাব করেন। প্রতিটি ইভেন্ট $A\subseteq\Omega$-এর জন্য —

এই তিনটি স্বতঃসিদ্ধ থেকেই সরাসরি বেশ কিছু দরকারি ফলাফল প্রমাণ করা যায়। যেমন —

• পরিপূরক নিয়ম: $P(A^c)=1-P(A)$, কারণ $A$ এবং $A^c$ (A নয় এমন) পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং $A\cup A^c=\Omega$, তাই axiom ৩ ও ২ থেকে $P(A)+P(A^c)=P(\Omega)=1$।
• খালি সেটের সম্ভাবনা: $P(\emptyset)=0$ (উপরের নিয়মে $A=\Omega$ বসিয়ে)।
• ইনক্লুশন-এক্সক্লুশন: $A$, $B$ বিচ্ছিন্ন না হলেও সাধারণভাবে $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ — কারণ $A\cap B$ অংশটুকু দুইবার গোনা হয়ে যায়।

৩ · শর্তাধীন সম্ভাবনা

প্রায়ই আমরা জানতে চাই — একটি ঘটনা $B$ ঘটেছে এটা জানার পরে, আরেকটি ঘটনা $A$ ঘটার সম্ভাবনা কত বদলায়। এটাই শর্তাধীন সম্ভাবনাConditional Probabilityএকটি ঘটনা ঘটেছে জেনে আরেকটি ঘটনার হালনাগাদ করা সম্ভাবনা। — সংজ্ঞা অনুযায়ী (যখন $P(B)>0$):

স্বজ্ঞাগতভাবে — আমরা স্যাম্পল স্পেসটিকে ছোট করে শুধু $B$-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ করে ফেলছি (যেন $B$-ই এখন নতুন "পুরো জগৎ"), এবং তার মধ্যে $A\cap B$-এর অংশটুকু কতটা তা মাপছি। উদাহরণ — একটি তাসের প্যাক থেকে একটি তাস তোলা হলো, এবং বলা হলো সেটি একটি "রাজা বা রানী বা গোলাম" (face card, $B$)। এখন $A=$ "তাসটি হরতনের (hearts)" হওয়ার সম্ভাবনা — $P(B)=12/52$ (৩টি face card × ৪টি suit), $P(A\cap B)=3/52$ (হরতনের ৩টি face card), তাই $P(A\mid B)=\frac{3/52}{12/52}=\frac{1}{4}$ — যেটা আসলে যুক্তিসঙ্গত, কারণ প্রতিটি suit-এ face card-এর অনুপাত সমান।

৪ · স্বাধীনতা (Independence)

দুটি ইভেন্ট $A$ ও $B$ কে স্বাধীনIndependent Eventsএকটির ফলাফল জানলে অন্যটির সম্ভাবনার কোনো পরিবর্তন হয় না। বলা হয় যদি একটি ঘটেছে জানার পরও অন্যটির সম্ভাবনা অপরিবর্তিত থাকে, অর্থাৎ $P(A\mid B)=P(A)$। শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞায় এটি বসিয়ে সমতুল্য (equivalent) ও বেশি ব্যবহৃত রূপ পাওয়া যায় —

এই রূপটি সুবিধাজনক কারণ এটি প্রতিসম (symmetric) — $A$ ও $B$-এর মধ্যে কৃত্রিম কোনো ক্রম নেই, এবং $P(B)=0$ হলেও সংজ্ঞাহীন হয়ে যায় না। ML-এ "iid" (independent and identically distributed) অনুমান — যেমন প্রশিক্ষণ ডেটার প্রতিটি স্যাম্পল একে অপরের থেকে স্বাধীন — ঠিক এই সংজ্ঞার উপরেই দাঁড়িয়ে আছে; likelihood ফাংশনকে একটি গুণফল (product) হিসেবে লেখার (L30) মূল কারণও এটাই।

৫ · মোট সম্ভাবনার সূত্র

ধরুন স্যাম্পল স্পেস $\Omega$-কে কয়েকটি পরস্পর-বিচ্ছিন্ন অংশ $B_1, B_2, \dots, B_n$-এ ভাগ করা যায় (যাদের মিলিত ইউনিয়ন পুরো $\Omega$)। তাহলে যেকোনো ইভেন্ট $A$-এর সম্ভাবনা এই অংশগুলোর উপর শর্তাধীন সম্ভাবনার একটি ভারযুক্ত (weighted) যোগফল হিসেবে লেখা যায় —

এটাকে মোট সম্ভাবনার সূত্র (law of total probability) বলা হয়। এটি অত্যন্ত ব্যবহারিক, কারণ প্রায়ই $P(A)$ সরাসরি হিসাব করা কঠিন, কিন্তু কিছু "কারণ" বা "পরিস্থিতি" ($B_i$) অনুযায়ী ভাগ করলে প্রতিটি অংশের শর্তাধীন সম্ভাবনা সহজেই জানা থাকে।

নিচের কোডে আমরা এই স্প্যাম-ফিল্টার পরিস্থিতিটি বাস্তবে সিমুলেট করছি — লক্ষ লক্ষ ইমেইল "তৈরি" করে দেখছি যে Monte Carlo সিমুলেশন থেকে পাওয়া অভিজ্ঞতামূলক (empirical) সম্ভাবনা হাতে-হিসাব করা $0.27$-এর কাছাকাছি আসে কি না।

import numpy as np
np.random.seed(0)

n = 1_000_000

# ধাপ ১: প্রতিটি ইমেইল স্প্যাম কি না ঠিক করা — P(স্প্যাম) = 0.4
is_spam = np.random.rand(n) < 0.4

# ধাপ ২: প্রতিটি ইমেইলের জন্য "free" শব্দ থাকার শর্তাধীন সম্ভাবনা বসানো
#   স্প্যাম হলে 0.6, না হলে 0.05 — np.where দিয়ে ভেক্টরাইজড শর্ত প্রয়োগ
p_free_given_type = np.where(is_spam, 0.6, 0.05)

# ধাপ ৩: সেই সম্ভাবনা অনুযায়ী "free" শব্দ থাকা/না-থাকা সিদ্ধান্ত
has_free = np.random.rand(n) < p_free_given_type

empirical_P_free = has_free.mean()
theoretical_P_free = 0.6 * 0.4 + 0.05 * 0.6

print("অভিজ্ঞতামূলক P(free)  =", round(empirical_P_free, 4))
print("তাত্ত্বিক P(free)       =", round(theoretical_P_free, 4))