ডিসক্রিট বিতরণ — Bernoulli, Binomial, Poisson

১ · র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল ও PMF

একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলRandom Variableএকটি ফাংশন যা এলোমেলো পরীক্ষার প্রতিটি ফলাফলকে একটি সংখ্যায় রূপান্তর করে। $X$ হলো এমন একটি ফাংশন যা প্রতিটি স্যাম্পল স্পেসের ফলাফলকে একটি সংখ্যায় রূপান্তর করে। যখন $X$ শুধুমাত্র গণনাযোগ্য (countable) কিছু মান নিতে পারে (যেমন $0,1,2,\dots$), তাকে ডিসক্রিট (discrete) র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল বলা হয়, এবং এর বিতরণ বর্ণনা করা হয় একটি PMFProbability Mass Functionএকটি ডিসক্রিট র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রতিটি সম্ভাব্য মানের সাথে একটি সম্ভাবনা যুক্ত করে এমন ফাংশন। দিয়ে — $P(X=k)$, যা প্রতিটি সম্ভাব্য $k$-এর জন্য একটি সম্ভাবনা দেয়, এবং সব $k$-এর উপর যোগফল অবশ্যই $1$ হতে হবে (পাঠ ২৪-এর axiom ২-এর সরাসরি ফল)।

২ · Bernoulli বিতরণ — একটি মাত্র ট্রায়াল

সবচেয়ে সরল ডিসক্রিট বিতরণ হলো Bernoulli$(p)$ — একটি একক ট্রায়াল যার ফলাফল হয় "সাফল্য" ($X=1$, সম্ভাবনা $p$) নাহয় "ব্যর্থতা" ($X=0$, সম্ভাবনা $1-p$)। এর PMF —

অর্থাৎ $k=1$ বসালে $P(X=1)=p$, আর $k=0$ বসালে $P(X=0)=1-p$ — একটি সূত্রেই দুটি ক্ষেত্র ধরা পড়ে। একটি মুদ্রা টস, একটি ইমেইল স্প্যাম কি না, একটি বাইনারি ক্লাসিফায়ারের প্রকৃত লেবেল ($y\in\{0,1\}$) — সবই Bernoulli।

৩ · Binomial বিতরণ — $n$টি স্বাধীন ট্রায়ালের সমষ্টি

যদি $n$টি স্বাধীন ও অভিন্ন (iid) Bernoulli$(p)$ ট্রায়াল চালানো হয় এবং $X$ হলো মোট কতটি "সাফল্য" হলো তার গণনা, তাহলে $X\sim\text{Binomial}(n,p)$। যেমন — একটি মুদ্রা $10$ বার টস করে মোট কতবার "হেড" পড়ল, অথবা $100$টি ইমেইলের মধ্যে কতগুলো স্প্যাম।

PMF ডেরাইভ করতে ভাবুন — ঠিক $k$টি সাফল্য এবং $n-k$টি ব্যর্থতার একটি নির্দিষ্ট ক্রম (যেমন প্রথম $k$টি সাফল্য, বাকিগুলো ব্যর্থতা) ঘটার সম্ভাবনা, স্বাধীনতার কারণে (পাঠ ২৪), হলো $p^k(1-p)^{n-k}$। কিন্তু ঠিক $k$টি সাফল্য পাওয়ার অনেক সম্ভাব্য ক্রম আছে — কোন $k$টি অবস্থানে সাফল্য হলো তা $\binom{n}{k}$ ভাবে বেছে নেওয়া যায়। যেহেতু প্রতিটি ক্রম পরস্পর বিচ্ছিন্ন ইভেন্ট এবং প্রতিটির সম্ভাবনা সমান, axiom ৩ (যোগযোগ্যতা) অনুযায়ী সেগুলো যোগ করে —

এখানে $\binom{n}{k}$ কে বলা হয় বাইনোমিয়াল কোয়েফিসিয়েন্ট — "$n$টি জিনিস থেকে $k$টি বেছে নেওয়ার কতভাবে সম্ভব" তার গণনা।

৪ · Poisson বিতরণ — বিরল ঘটনার গণনা

Binomial বিতরণে $n$ ট্রায়াল ও প্রতিটির সাফল্যের সম্ভাবনা $p$ জানতে হয়। কিন্তু অনেক বাস্তব পরিস্থিতিতে — যেমন "এক ঘণ্টায় একটি সার্ভারে কতগুলো রিকোয়েস্ট এলো" — "মোট ট্রায়াল সংখ্যা" বলে স্পষ্ট কিছু নেই, শুধু জানা আছে গড়ে কত ঘটনা ঘটে (হার, $\lambda$)। এই ধরনের বিরল/গণনা-ভিত্তিক ঘটনার জন্য Poisson$(\lambda)$ বিতরণ ব্যবহৃত হয় —

যেখানে $\lambda>0$ হলো একক সময়ে/স্থানে গড় ঘটনার সংখ্যা (এবং এটাই $X$-এর প্রত্যাশিত মান — পাঠ ২৭-এ আমরা প্রমাণ করব $\mathbb{E}[X]=\lambda$)। কৌতূহলজনকভাবে, Poisson আসলে Binomial-এর একটি সীমা (limit) — $n\to\infty$, $p\to0$, কিন্তু $np=\lambda$ স্থির রেখে — অর্থাৎ অনেক অনেক "প্রায় অসম্ভব" ট্রায়ালের সমষ্টি একটি Poisson-এ রূপ নেয়।

নিচের কোডে আমরা $\text{Binomial}(n{=}10, p{=}0.3)$-এর জন্য $P(X=3)$ এবং $\text{Poisson}(\lambda{=}4)$-এর জন্য $P(X=2)$ — এই দুটি সূত্র হাতে বাস্তবায়ন করে, তারপর NumPy-র র‍্যান্ডম স্যাম্পলিং দিয়ে যাচাই করছি সূত্রের ফলাফল সিমুলেশনের সাথে মেলে কি না।

import numpy as np
import math

def binomial_pmf(k, n, p):
    # n! / (k! (n-k)!) — কতভাবে n থেকে k বেছে নেওয়া যায়
    coeff = math.factorial(n) // (math.factorial(k) * math.factorial(n - k))
    return coeff * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))

def poisson_pmf(k, lam):
    return (np.exp(-lam) * (lam ** k)) / math.factorial(k)

# --- Binomial(n=10, p=0.3): P(X=3) ---
n, p, k1 = 10, 0.3, 3
p_binom_formula = binomial_pmf(k1, n, p)

samples_binom = np.random.binomial(n, p, size=1_000_000)
p_binom_empirical = np.mean(samples_binom == k1)

print("Binomial সূত্র থেকে   P(X=3) =", round(p_binom_formula, 4))
print("Binomial সিমুলেশন থেকে P(X=3) =", round(p_binom_empirical, 4))

# --- Poisson(lambda=4): P(X=2) ---
lam, k2 = 4, 2
p_pois_formula = poisson_pmf(k2, lam)

samples_pois = np.random.poisson(lam, size=1_000_000)
p_pois_empirical = np.mean(samples_pois == k2)

print("Poisson সূত্র থেকে    P(X=2) =", round(p_pois_formula, 4))
print("Poisson সিমুলেশন থেকে P(X=2) =", round(p_pois_empirical, 4))