Propositional logic — proposition, connective আর truth table

১ · Proposition — কোন বাক্যকে সত্য বা মিথ্যা বলা যায়

“বাজারঘর” আমাদের কোর্সের কাল্পনিক অনলাইন দোকান। তার কোড-বেসে হাজারো শর্ত লেখা: “অর্ডার ৫০০ টাকার বেশি হলে কুপন চলবে”, “পাসওয়ার্ড তিনবার ভুল হলে অ্যাকাউন্ট লক হবে”, “ঢাকার ভেতরে হলে আজই ডেলিভারি”। প্রতিটি শর্তের ভেতরে লুকিয়ে আছে কয়েকটি ছোট দাবি, যার প্রতিটি কোনো একটি মুহূর্তে হয় সত্য, নয় মিথ্যা। এই ছোট দাবিগুলো আর তাদের জোড়া লাগানোর নিয়মই propositional logic.

নিচের তালিকা দেখুন। কোনটি proposition, কোনটি নয়, আর কেন:

তৃতীয় সারিটি গুরুত্বপূর্ণ। Proposition হওয়ার জন্য আমাদের মান জানা লাগে না; শুধু মানটি নির্দিষ্টভাবে একটিই হতে হবে। শেষ সারির বাক্যটি বিখ্যাত liar paradox; এটি কেন proposition হতে পারে না, ভাবনার প্রশ্ন ৪-এ দেখবেন।

যুক্তির হিসাবে প্রতিটি মৌলিক proposition-এর জায়গায় একটি অক্ষর বসানো হয়: p, q, r, s… এদের বলে propositional variable. যেমন p = “অর্ডার ৫০০ টাকার বেশি”, q = “ক্রেতা নতুন”। এরপর ছোট ছোট variable জুড়ে বড় বাক্য বানানো হয়, যার নাম compound proposition. জোড়া লাগানোর আঠাটির নাম connective.

২ · Connective আর truth table — ¬ ∧ ∨ ⊕

প্রতিটি connective-এর অর্থ তার truth table দিয়ে সংজ্ঞায়িত: প্রতিটি সম্ভাব্য মান-বসানোর জন্য ফল কী। দৈনন্দিন ভাষার আবছা অর্থ এখানে চলে না; টেবিলই শেষ কথা।

• Negation ¬p (“p নয়”): p-এর উল্টো মান। p = “আজ হরতাল”, তাহলে ¬p = “আজ হরতাল নয়”।
• Conjunction p ∧ q (“p এবং q”): দুটোই সত্য হলে তবেই সত্য।
• Disjunction p ∨ q (“p অথবা q”): অন্তত একটি সত্য হলেই সত্য, দুটোই সত্য হলেও সত্য। একে বলে inclusive or.
• Exclusive or p ⊕ q (XOR): ঠিক একটি সত্য হলে সত্য; দুটোই সত্য হলে মিথ্যা।

শেষ দুটি কলাম (→ আর ↔) পরের অংশে বিস্তারিত দেখব। নিচের ছবিতে চারটি connective-কে Venn diagram-এ দেখানো হয়েছে। আয়তক্ষেত্রটি চারটি সারির সব সম্ভাবনা; বাঁ বৃত্ত “p সত্য”, ডান বৃত্ত “q সত্য”, আর নীল রঙ সেই অংশ, যেখানে সূত্রটি সত্য। দুই বৃত্তের বাইরের জায়গাটি p = F, q = F সারি।

“অথবা” — inclusive না exclusive?

বাংলায় “অথবা” দুই অর্থে চলে। রেস্তোরাঁর মেনুতে “ভাতের সঙ্গে ডাল অথবা সবজি” মানে সাধারণত একটি, দুটো নয়: exclusive. আবার চাকরির বিজ্ঞপ্তিতে “প্রার্থীর CSE অথবা EEE ডিগ্রি থাকতে হবে” মানে দুটো থাকলেও আবেদন চলবে: inclusive. গণিত আর প্রোগ্রামিংয়ে ∨ (Python-এর or) সবসময় inclusive. Exclusive দরকার হলে আলাদা চিহ্ন ⊕ লিখতে হয়, অথবা স্পষ্ট করে বলতে হয় “তবে দুটো একসঙ্গে নয়”।

কতগুলো সারি, কতগুলো আলাদা টেবিল

প্রমাণ (সারির সংখ্যা, induction দিয়ে):

1. ভিত্তি: n = 1 হলে একটিমাত্র variable p, তার মান T বা F; সারি ২টি = 2¹.
2. ধরে নিই: কোনো n ≥ 1-এর জন্য n-টি variable-এর সারি 2ⁿ.
3. ধাপ: নতুন variable যোগ করলে আগের প্রতিটি সারি দুটি সারিতে ভাগ হয়: একটিতে নতুন variable = T, অন্যটিতে F. দুটি নতুন সারি আলাদা (নতুন ঘরে মান আলাদা), আর আলাদা পুরোনো সারি থেকে আসা সারিও আলাদা। তাই সারি 2 · 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹.
4. Induction-এর নীতিতে সব n ≥ 1-এর জন্য সারি 2ⁿ. ∎

দ্বিতীয় অংশ: একটি truth table মানে 2ⁿটি সারির প্রতিটির শেষ ঘরে T বা F বসানো। প্রতিটি সারিতে ২টি স্বাধীন পছন্দ, তাই গুণের নিয়মে মোট 2 · 2 · … · 2 (2ⁿ বার) = 2^2ⁿ. ∎

সংখ্যাগুলো দ্রুত বাড়ে। n = 2 হলে 2⁴ = ১৬টি সম্ভাব্য দুই-ইনপুট connective; আমরা নাম দিয়েছি তার কয়েকটির (∧, ∨, ⊕, →, ↔; NAND আর NOR পর্ব ০৩-এ)। n = 3 হলে ২৫৬টি, n = 5 হলে 2³² = 4,294,967,296টি। Induction-এর পূর্ণ নিয়ম পর্ব ১০-এ, আর গুণের নিয়ম পর্ব ৩১-এ বিস্তারিত আসবে; এখানে শুধু ব্যবহার করলাম।

৩ · Conditional p → q — প্রতিশ্রুতি, ফাঁকা সত্য আর তার তিন আত্মীয়

Conditional বা implication p → q পড়া হয় “যদি p তবে q”. p-কে বলে hypothesis (শর্ত), q-কে conclusion (ফল)। এর truth table-এ নতুনরা সবচেয়ে বেশি অবাক হন, তাই একটি প্রতিশ্রুতি দিয়ে ভাবি।

তাই p → q মিথ্যা শুধু একটি সারিতে: p = T, q = F. বাকি তিন সারিতে সত্য। এই অর্থকে বলে material implication, আর সংক্ষেপে:

p → q-এর মান সবসময় ¬p ∨ q-এর মানের সমান

টেবিলের চার সারিতে মিলিয়ে দেখুন। এর একটি ফল: p মিথ্যা হলে q যা-ই হোক, p → q সত্য। একে বলে vacuous truth (ফাঁকা সত্য)। “বাজারঘরের যে ক্রেতার বয়স ২০০ বছর, তিনি ৯০% ছাড় পাবেন” — এমন কেউ নেই, তাই প্রতিশ্রুতিটি কখনো পরীক্ষাতেই পড়ে না, আর সেটি সত্য। Python-এ all([]) যে True দেয়, সেটিও এই ফাঁকা সত্য: খালি তালিকায় শর্ত ভাঙার মতো কোনো উপাদানই নেই (পর্ব ০৪-এ quantifier দিয়ে আবার আসবে)। খেয়াল করুন, → কোনো কারণ-ফল দাবি করে না: “যদি 2 + 2 = 4 হয় তবে সূর্য পূর্বে ওঠে” যুক্তিতে সত্য বাক্য, যদিও দুই অংশের মধ্যে কোনো সম্পর্ক নেই।

একটি conditional, তিনটি আত্মীয়

Converse কেন আলাদা? বাজারঘর রাতের কিছু অর্ডারও আজই পৌঁছে দিতে পারে (p = F, q = T). তখন মূল প্রতিশ্রুতি অটুট, কিন্তু converse “আজ পেলে অর্ডার ৬টার আগে ছিল” ভুল প্রমাণ হলো।

প্রমাণ (সারি না লিখে, “কখন মিথ্যা” ধরে):

1. →-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী A → B মিথ্যা ঠিক তখন, যখন A = T আর B = F.
2. তাই p → q মিথ্যা ঠিক তখন, যখন p = T আর q = F.
3. ¬q → ¬p মিথ্যা ঠিক তখন, যখন ¬q = T আর ¬p = F, অর্থাৎ (¬-এর সংজ্ঞায়) q = F আর p = T.
4. ধাপ ২ আর ৩-এর শর্ত হুবহু এক। তাই দুটি বাক্য ঠিক একই সারিতে মিথ্যা, আর বাকি সব সারিতে দুটোই সত্য। অর্থাৎ প্রতিটি সারিতে মান সমান।
5. Inverse ¬p → ¬q আসলে converse q → p-এর contrapositive (q-এর জায়গায় ¬p, p-এর জায়গায় ¬q বসালে ধাপ ১–৪ হুবহু খাটে)। তাই এ দুটিও সমান। ∎

এই সমতা পর্ব ০৮-এর “contrapositive দিয়ে প্রমাণ” পদ্ধতির ভিত্তি: p → q সরাসরি প্রমাণ কঠিন হলে ¬q → ¬p প্রমাণ করলেই চলে।

p → q বলার নানা ভঙ্গি, আর ↔

একই p → q ভাষায় অনেকভাবে আসে। সবচেয়ে ভুল হয় “শুধু যদি” (only if) নিয়ে:

• “যদি p তবে q”, “p হলে q”, “q, যদি p” — সবই p → q.
• “p শুধু যদি q” (p only if q) — এটিও p → q. মানে: q ছাড়া p হতে পারে না। “আপনি লগইন করতে পারবেন শুধু যদি OTP দেন” = লগইন → OTP. খেয়াল করুন, OTP দিলেই লগইন নিশ্চিত, এমন কথা বলা হয়নি।
• “p, q-এর জন্য যথেষ্ট” = p → q; “q, p-এর জন্য প্রয়োজনীয়” = p → q.
• “q, যদি না ¬p” বা ইংরেজিতে “q unless r” = ¬r → q, যা r ∨ q-এর সমান।

Biconditional p ↔ q (“p যদি এবং কেবল যদি q”, ইংরেজিতে iff) সত্য যখন দুটির মান এক। এটি (p → q) ∧ (q → p): দুই দিকের প্রতিশ্রুতি একসঙ্গে। “ছাত্রছাড় পাবেন যদি এবং কেবল যদি বৈধ ছাত্র-আইডি দেখান” মানে আইডি দেখালে ছাড় নিশ্চিত, আর আইডি ছাড়া ছাড় নেই। খেয়াল করুন, ↔ হলো ⊕-এর ঠিক উল্টো: p ↔ q-এর মান সবসময় ¬(p ⊕ q)-এর মান।

৪ · Precedence আর বড় সূত্রের truth table — সারি ধরে ধরে

পাটিগণিতে 2 + 3 × 4 = 14, কারণ গুণ আগে। যুক্তিতেও বন্ধনী না থাকলে কোন connective আগে খাটবে, তার নিয়ম আছে। একে বলে operator precedence. সবচেয়ে প্রচলিত ক্রম (বেশিরভাগ discrete math পাঠ্যবইয়ে):

তাই p ∨ q ∧ ¬r মানে p ∨ (q ∧ (¬r)), আর p ∧ q → r মানে (p ∧ q) → r. ⊕-এর স্থান বিভিন্ন বইয়ে আলাদা, আর p → q → r-কে কেউ ডান দিক থেকে জোড়েন, কেউ অস্পষ্ট বলেন। নিরাপদ নিয়ম: সন্দেহ হলেই বন্ধনী দিন। Python-এ not, and, or-এর ক্রম ঠিক ¬, ∧, ∨-এর মতো; বিস্তারিত Python প্রোগ্রামিং কোর্সের পর্ব ০৮-এ।

এবার একটি তিন-variable সূত্রের truth table সারি ধরে বানাই:

(p → q) ∧ (q → r) → (p → r)

Precedence অনুযায়ী ∧ আগে, তাই এটি ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r). বাংলায়: “p থেকে q আসে আর q থেকে r আসে, তাহলে p থেকে r আসে।” ভেতরের অংশকে A = (p → q) ∧ (q → r) আর B = p → r ধরে প্রতিটি সারিতে আগে ছোট অংশ, তারপর বড় অংশ হিসাব করুন। “পরে” চাপুন:

1p → q2q → r3A = (p→q) ∧ (q→r)4B = p → r5A → B

হাতে ৮টি সারি চলে, কিন্তু ২০টি variable-এ সারি দশ লাখের বেশি (2²⁰ = 1,048,576). এই কাজ কম্পিউটারকে দিন। নিচের Python ব্লক itertools.product দিয়ে সব সারি তৈরি করে; প্রথমবার চালালে ব্রাউজারে Python (Pyodide) নামতে কয়েক সেকেন্ড লাগে, পরে দ্রুত চলে। → চিহ্নের জন্য ছোট একটি function imp লেখা হয়েছে; দুটি bool-এর ক্ষেত্রে == হলো ↔।

from itertools import product

def imp(a, b):                     # a → b  মানে  (¬a) ∨ b
    return (not a) or b

def table(title, names, f):
    print(title)
    print(" ".join(names), "| value")
    hits = 0
    for row in product([True, False], repeat=len(names)):
        v = f(*row)
        hits += v
        print(" ".join("T" if x else "F" for x in row), "|", "T" if v else "F")
    print(f"T in {hits} of {2 ** len(names)} rows\n")

table("(p -> q) and (q -> r) -> (p -> r)", "pqr",
      lambda p, q, r: imp(imp(p, q) and imp(q, r), imp(p, r)))

table("(p -> q) == (q -> p)   [is the converse the same?]", "pq",
      lambda p, q: imp(p, q) == imp(q, p))

table("(p -> q) == (not q -> not p)   [contrapositive]", "pq",
      lambda p, q: imp(p, q) == imp(not q, not p))

(p -> q) and (q -> r) -> (p -> r)
p q r | value
T T T | T
…
F F F | T
T in 8 of 8 rows

(p -> q) == (q -> p)   [is the converse the same?]
p q | value
T T | T
T F | F
F T | F
F F | T
T in 2 of 4 rows

(p -> q) == (not q -> not p)   [contrapositive]
…
T in 4 of 4 rows

৫ · বাংলা বাক্য থেকে সূত্র — বাজারঘরের কুপন নিয়ম

প্রোগ্রামার আর পরীক্ষার্থী দুজনের সবচেয়ে বড় কাজ: সাধারণ ভাষার নিয়মকে নির্ভুল সূত্রে আনা। ভাষা আবছা, সূত্র আবছা হতে পারে না। পদ্ধতিটি সবসময় একই:

1. মৌলিক proposition খুঁজে প্রতিটিকে একটি অক্ষর দিন (প্রতিটি যেন নিজে সত্য-মিথ্যা হয়, ভেতরে “না” না রেখে)।
2. Connective-এর শব্দ চিহ্নিত করুন: “এবং/কিন্তু/তবুও” = ∧, “অথবা” = ∨ বা ⊕, “না/নয়” = ¬, “যদি… তবে/শুধু যদি” = →, “যদি এবং কেবল যদি” = ↔।
3. →-এর দিক ঠিক করুন; “শুধু যদি”-র পরের অংশটি ফল (q), আগের অংশটি শর্ত (p).
4. বন্ধনী ঠিক করুন; অস্পষ্ট হলে নিয়মের মালিককে জিজ্ঞেস করুন।
5. একটি-দুটি সারি দিয়ে পরীক্ষা করুন, বাস্তবের অর্থ মেলে কি না।

বাজারঘরের মার্কেটিং দল লিখেছে: “BAZAR50 কুপন চলবে শুধু যদি অর্ডার ৫০০ টাকার বেশি হয় এবং ক্রেতা নতুন হন অথবা অ্যাপ থেকে অর্ডার দেন; তবে ফ্ল্যাশ সেলের পণ্যে কুপন চলবে না।” ধাপে ধাপে অনুবাদ করি:

1BAZAR50 কুপন চলবে2শুধু যদি3অর্ডার ৫০০ টাকার বেশি হয়4এবং ক্রেতা নতুন হন5অথবা অ্যাপ থেকে অর্ডার দেন;6তবে ফ্ল্যাশ সেলে চলবে না

নিয়মগুলো কি পরস্পরবিরোধী? — specification consistency

একটি সিস্টেমের specification সাধারণত অনেকগুলো নিয়ম। নিয়মগুলোকে বলে consistent, যদি অন্তত একটি মান-বসানো থাকে যেখানে সবকটি নিয়ম একসঙ্গে সত্য। না থাকলে নিয়মগুলো পরস্পরবিরোধী: যেভাবেই সিস্টেম বানান, কোনো না কোনো নিয়ম ভাঙবেই। গাণিতিকভাবে এটি প্রশ্ন করে, নিয়মগুলোর ∧ satisfiable কি না।

বাজারঘরের লগইন দলের লেখা নিয়ম, যেখানে w = “পাসওয়ার্ড ভুল”, k = “অ্যাকাউন্ট লক”, o = “OTP পাঠানো হয়েছে”, l = “লগইন সফল”:

• S1: পাসওয়ার্ড ভুল হলে লগইন হবে না: w → ¬l
• S2: অ্যাকাউন্ট লক থাকলে OTP যাবে না: k → ¬o
• S3: লগইন হবে শুধু যদি OTP যায়: l → o
• S4: পাসওয়ার্ড ঠিক হলে লগইন হবে: ¬w → l
• S5 (একটি ঘটনা): অ্যাকাউন্টটি লক। S6 (আরেকটি ঘটনা): পাসওয়ার্ড ঠিক ছিল।

from itertools import product

imp = lambda a, b: (not a) or b
# w = ভুল পাসওয়ার্ড, k = অ্যাকাউন্ট লক, o = OTP গেছে, l = লগইন হলো
specs = {
    "S1 w -> not l": lambda w, k, o, l: imp(w, not l),
    "S2 k -> not o": lambda w, k, o, l: imp(k, not o),
    "S3 l -> o":     lambda w, k, o, l: imp(l, o),
    "S4 not w -> l": lambda w, k, o, l: imp(not w, l),
    "S5 k":          lambda w, k, o, l: k,
    "S6 not w":      lambda w, k, o, l: not w,
}

def check(names):
    sols = [row for row in product([True, False], repeat=4)
            if all(specs[s](*row) for s in names)]
    tag = "consistent" if sols else "INCONSISTENT"
    print(f"{len(names)} specs: {tag}, {len(sols)} assignment(s)")
    for w, k, o, l in sols:
        print(f"   w={w!s:5} k={k!s:5} o={o!s:5} l={l!s:5}")

check(list(specs)[:4])
check(list(specs)[:5])
check(list(specs)[:6])

4 specs: consistent, 4 assignment(s)
   w=True  k=True  o=False l=False
   w=True  k=False o=True  l=False
   w=True  k=False o=False l=False
   w=False k=False o=True  l=True
5 specs: consistent, 1 assignment(s)
   w=True  k=True  o=False l=False
6 specs: INCONSISTENT, 0 assignment(s)

৬ · Bit operation — একসঙ্গে অনেকগুলো truth table

কম্পিউটার T আর F রাখে 1 আর 0 হিসেবে, একেকটি bit-এ। একটি bit string হলো এমন বিটের সারি, যেমন 10110110 (দৈর্ঘ্য ৮)। সমান দৈর্ঘ্যের দুটি bit string-এর প্রতিটি অবস্থানে আলাদা করে ∧, ∨ বা ⊕ খাটালে পাওয়া যায় bitwise AND, OR আর XOR. অর্থাৎ ৮ বিটের একটি bitwise operation মানে একসঙ্গে ৮টি আলাদা truth table-এর সারি, আর CPU সাধারণত পুরো word-এর সব বিট একটিমাত্র নির্দেশে করে।

একটি বাস্তব ব্যবহার bitmask: বাজারঘরের প্রতিটি কর্মীর অনুমতিগুলো একটি সংখ্যার বিটে রাখা হয়, যেমন বিট ০ = অর্ডার দেখা, বিট ১ = পণ্য সম্পাদনা, বিট ২ = টাকা ফেরত, বিট ৩ = অ্যাডমিন। “এই কর্মী টাকা ফেরত দিতে পারেন কি?” প্রশ্নটি হলো mask AND 0100 শূন্য কি না। আর XOR দিয়ে একটি বিট টগল করা যায়, কারণ x ⊕ k ⊕ k = x (প্রতিটি বিটে k = 1 হলে দুবার উল্টে আগের জায়গায়, k = 0 হলে কিছুই বদলায় না)।

a = 0b10110110
b = 0b01100011
for name, v in [("a", a), ("b", b), ("a & b", a & b),
                ("a | b", a | b), ("a ^ b", a ^ b), ("~a & 0xFF", ~a & 0xFF)]:
    print(f"{name:10} {v:08b}")

# বাজারঘরের staff permission: প্রতিটি বিট একটি অনুমতি
VIEW, EDIT, REFUND, ADMIN = 0b0001, 0b0010, 0b0100, 0b1000
roles = {"packer": VIEW, "support": VIEW | REFUND,
         "manager": VIEW | EDIT | REFUND}
print()
for role, mask in roles.items():
    can_refund = (mask & REFUND) != 0
    print(f"{role:8} {mask:04b}  refund? {can_refund}")

support = roles["support"]
print("support ^ REFUND ->", format(support ^ REFUND, "04b"))   # অনুমতি টগল

# x ^ k ^ k == x : সব 8-বিট x আর k-তে
print("x^k^k == x for all 8-bit x, k:",
      all(x ^ k ^ k == x for x in range(256) for k in range(256)))

a          10110110
b          01100011
a & b      00100010
a | b      11110111
a ^ b      11010101
~a & 0xFF  01001001

packer   0001  refund? False
support  0101  refund? True
manager  0111  refund? True
support ^ REFUND -> 0001
x^k^k == x for all 8-bit x, k: True

৭ · যুক্তির ধাঁধা — সাধু আর ঠগের চর

পদ্মার এক চরে দুই ধরনের মানুষ থাকেন: সাধু, যাঁরা সবসময় সত্য বলেন, আর ঠগ, যাঁরা সবসময় মিথ্যা বলেন। ধাঁধার এই ধরনটিকে বলে knights and knaves; গণিতবিদ ও যুক্তিবিদ Raymond Smullyan ১৯৭০-এর দশকের শেষে তাঁর ধাঁধার বইগুলোতে (যেমন ১৯৭৮ সালের What Is the Name of This Book?) এটি জনপ্রিয় করেন।

যুক্তিতে রূপান্তরের চাবিটি একটি লাইনে: a = “A সাধু” ধরলে, A যা বলেন, সেই কথাটি সত্য হয় ঠিক তখন, যখন A সাধু। অর্থাৎ A-এর কথা S হলে a ↔ S. এবার ধাঁধা: চরে দেখা হলো A আর B-এর সঙ্গে। A বললেন, “B ঠগ।” B বললেন, “A আর আমি একই দলের।” কে কী?

1A: "B ঠগ"   a ↔ ¬b2B: "একই দল"  b ↔ (a ↔ b)3ক্ষেত্র ১: a = T4ক্ষেত্র ২: a = F5সিদ্ধান্ত

এবার তিনজনের একটি ধাঁধা, যা হাতে করতে একটু সময় লাগে: A বললেন, “আমাদের তিনজনের মধ্যে অন্তত একজন ঠগ।” B বললেন, “A সাধু হলে C-ও সাধু।” C বললেন, “A ঠগ।” নিচের ব্লক ২-জন আর ৩-জন দুটি ধাঁধাই সব সারি ঘুরে সমাধান করে:

from itertools import product

imp = lambda a, b: (not a) or b
show = lambda ok: "সাধু" if ok else "ঠগ"

# সাধু (knight) সবসময় সত্য বলে, ঠগ (knave) সবসময় মিথ্যা।
# তাই "X সাধু"  ↔  "X-এর কথা সত্য"।
def solve(people, says):
    found = []
    for row in product([True, False], repeat=len(people)):
        v = dict(zip(people, row))
        if all(v[x] == says[x](v) for x in people):
            found.append(v)
    return found

two = {"A": lambda v: not v["B"],               # A: "B ঠগ"
       "B": lambda v: v["A"] == v["B"]}         # B: "A আর আমি একই দলের"
for s in solve("AB", two):
    print("2 people:", {x: show(t) for x, t in s.items()})

three = {"A": lambda v: not (v["A"] and v["B"] and v["C"]),  # "অন্তত একজন ঠগ"
         "B": lambda v: imp(v["A"], v["C"]),                 # "A সাধু হলে C-ও সাধু"
         "C": lambda v: not v["A"]}                          # "A ঠগ"
sols = solve("ABC", three)
print("3 people:", len(sols), "solution(s)")
for s in sols:
    print("  ", {x: show(t) for x, t in s.items()})

2 people: {'A': 'সাধু', 'B': 'ঠগ'}
3 people: 1 solution(s)
   {'A': 'সাধু', 'B': 'ঠগ', 'C': 'ঠগ'}

৮ · AI-এর যুগে — যুক্তির হিসাবে AI সহকারী

AI সহকারী truth table বানাতে, বাক্য অনুবাদ করতে বা ধাঁধা সমাধান করতে খুব দ্রুত। কিন্তু যুক্তির কাজে তার ভুলগুলো আত্মবিশ্বাসী ভঙ্গিতে আসে, আর একটি সারির ভুলেই পুরো সিদ্ধান্ত উল্টে যায়। এই পর্বের বিষয়ে যে ভুলগুলো বেশি দেখা যায়:

AI-এর যুক্তি হাতে পেলে — যাচাইয়ের চেকলিস্ট

• সারির সংখ্যা গুনেছি: n-টি variable-এ ঠিক 2ⁿ, কোনো সারি বাদ বা দ্বিগুণ নেই
• প্রতিটি → সারিতে মিলিয়েছি: মিথ্যা শুধু “শর্ত T, ফল F”-এ
• “শুধু যদি”, “যদি না”, “অথবা”-র অনুবাদ একটি বাস্তব উদাহরণ দিয়ে পরীক্ষা করেছি
• দাবিটি Python-এ সব সারি ঘুরে যাচাই করেছি, অথবা একটি counterexample খুঁজেছি
• প্রমাণের প্রতিটি ধাপের কারণ (কোন সংজ্ঞা বা নিয়ম) বলতে পারি; “দেখা যাচ্ছে” জাতীয় লাফ নেই
• AI-এর উল্লেখ করা বই বা উপপাদ্যের নাম নিজে একটি বিশ্বস্ত পাঠ্যবইয়ে মিলিয়েছি

Logic-কে AI কীভাবে ব্যবহার করে (knowledge base, inference, resolution), তা AI-এর ভিত্তি আর Python for AI কোর্সের পর্ব ৪৫ আর পর্ব ৪৬-এ আছে; এখানে আমরা তার নিচের গণিতটুকু দেখলাম।